Докажи что сумма площадей

Теорема Пифагора через суммы площадей

Классическое доказательство теоремы Пифагора основано на сравнении площадей:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c
2. Построим квадрат со стороной (a+b)
3. Площадь большого квадрата можно выразить двумя способами:
   • Как (a+b)² = a² + 2ab + b²
   • Как сумму площади 4 треугольников и площади квадрата со стороной c: 4*(ab/2) + c² = 2ab + c²
4. Приравнивая выражения: a² + 2ab + b² = 2ab + c²
5. После сокращения получаем: a² + b² = c²

Сумма площадей в параллелограмме

Свойство площадей подобных фигур

Если линейные размеры фигуры увеличиваются в k раз, то площадь увеличивается в k² раз:

• Для квадрата: (k*a)² = k²*a²
• Для прямоугольника: (k*a)*(k*b) = k²*(a*b)
• Для треугольника: (k*a*k*h)/2 = k²*(a*h/2)

Площадь круга как сумма площадей

Метод Архимеда:

1. Разобьем круг на множество узких секторов
2. Каждый сектор приближенно равен треугольнику
3. Сумма площадей всех треугольников: Σ(1/2*r*r*Δθ) = 1/2*r²*ΣΔθ
4. При Δθ→0, ΣΔθ→2π
5. Итого: S = 1/2*r²*2π = πr²

Сравнение площадей через интегралы

Для непрерывных функций площадь под кривой равна определенному интегралу:

Принцип Кавальери

Если при пересечении двух тел любой плоскостью получаются фигуры равной площади, то объемы тел равны. Аналогично для площадей:

• Если при пересечении любой прямой получаются отрезки равной длины
• То площади фигур равны
• Это позволяет сравнивать площади сложных фигур

Площадь поверхности сложных тел

Площадь поверхности можно представить как сумму:

1. Для призмы: сумма площадей боковых граней + 2 основания
2. Для пирамиды: сумма площадей треугольных граней + основание
3. Для цилиндра: 2πr² + 2πrh
4. Для сферы: 4πr² (предел суммы площадей малых элементов)

Запомните, а то забудете